线性映射

存在性。 任意 $v\in V$ 有唯一坐标 $v=\sum c_iv_i$（见向量）。定义 $T(v)=\sum c_iw_i$。若 $u=\sum d_iv_i$，则 $au+bv=\sum(ad_i+bc_i)v_i$，于是 $T(au+bv)=\sum(ad_i+bc_i)w_i=aT(u)+bT(v)$。所以 $T$ 线性，且显然 $T(v_i)=w_i$。

唯一性。 若 $S$ 也线性且 $S(v_i)=w_i$，则 $S(v)=S(\sum c_iv_i)=\sum c_iS(v_i)=\sum c_iw_i=T(v)$。

$T(p+tv)=T(p)+tT(v)$，直接由线性性得到。方向向量 $v$ 相同的直线，像的方向向量都是 $T(v)$。

取 $\ker T$ 的基 $u_1,\dots,u_k$，扩充为 $V$ 的基 $u_1,\dots,u_k,v_1,\dots,v_r$。断言 $T(v_1),\dots,T(v_r)$ 是 $\operatorname{im}T$ 的基。

张成：任意 $T(v)$，$v=\sum a_iu_i+\sum b_jv_j$，故 $T(v)=\sum b_jT(v_j)$。

无关：若 $\sum b_jT(v_j)=0$，则 $T(\sum b_jv_j)=0$，所以 $\sum b_jv_j\in\ker T$，可写成 $\sum a_iu_i$。由 $u,v$ 全体线性无关得所有 $b_j=0$。

于是 $\dim\operatorname{im}T=r=\dim V-k$。