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问题

少量但真实的练习。目的不是刷题，而是检验你是否真的理解了定义。

微积分基础

极限

01
求 lim⁡x→0sin⁡3xx\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{x}。
02
设 f(x)=2x+1f(x)=2x+1。要保证当 0<∣x−1∣<δ0<|x-1|<\delta 时 ∣f(x)−3∣<ε|f(x)-3|<\varepsilon，下列哪个 δ\delta 一定可行？

导数

03
设 f(x)=x3−2xf(x)=x^3-2x，求 f′(2)f'(2)。
04
求 lim⁡h→02h−1h\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{2^h-1}{h}（保留三位小数）。这正是 2x2^x 在 x=0x=0 处的导数。

积分

05
计算 ∫01x2 dx\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx（保留四位小数）。
06
设 F(x)=∫0xe−t2 dtF(x)=\displaystyle\int_0^x e^{-t^2}\,dt，则 F′(x)F'(x) 等于？

Taylor 展开

07
sin⁡x\sin x 在 x=0x=0 处的 Taylor 级数中，x3x^3 的系数是多少（保留四位小数）？
08
用 1−x221-\tfrac{x^2}{2} 近似 cos⁡x\cos x，当 ∣x∣≤0.5|x|\le 0.5 时，Lagrange 余项给出的误差上界最接近下列哪个？

线性代数基础

向量

09
向量 (1,0,1),(0,1,1),(1,1,2)(1,0,1),(0,1,1),(1,1,2) 在 R3\mathbb R^3 中张成的子空间维数是多少？
10
在通常的加法与数乘下，下列哪个集合不是向量空间？

线性映射

11
线性映射 T:R2→R2T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2 满足 T(1,0)=(2,1)T(1,0)=(2,1)，T(0,1)=(0,3)T(0,1)=(0,3)。求 T(1,2)T(1,2) 的第二个坐标。
12
下列哪个映射是线性的？

矩阵

13
求 det⁡(2134)\det\begin{pmatrix}2&1\\3&4\end{pmatrix}。
14
逆时针旋转 90∘90^\circ 的线性变换，在标准基下的矩阵是？

特征值

15
求 (2112)\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix} 的最大特征值。
16
剪切矩阵 (1101)\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} 的特征向量是？

微分方程入门

ODE 是什么

17
解初值问题 y′=2y, y(0)=3y'=2y,\ y(0)=3，求 y(1)y(1)（保留两位小数）。
18
方程 y′′′+y y′=sin⁡ty'''+y\,y'=\sin t 的阶是？

一阶方程

19
解 y′=y2, y(0)=1y'=y^2,\ y(0)=1，求 y(0.5)y(0.5)。
20
解 y′+2y=ety'+2y=e^t 时应乘的积分因子是？

二阶线性方程

21
y′′−3y′+2y=0y''-3y'+2y=0 的特征方程较大的根是多少？
22
y′′+4y=0y''+4y=0 的通解是？

数值解

23
对 y′=y, y(0)=1y'=y,\ y(0)=1 用步长 h=0.5h=0.5 的 Euler 法走两步，得到的 y(1)y(1) 近似值是多少？
24
RK4 的全局误差是 O(h4)O(h^4)。把步长减半，误差大约变为原来的几分之一？