矩阵

线性映射的坐标表示；矩阵乘法为什么这样定义。

约 8 分钟

从一个问题开始

问题

线性映射由基的像决定。但要计算一个映射的值、存储一个映射、复合两个映射，我们需要一套记法，让这些操作变成机械的算术。

矩阵就是这套记法。矩阵乘法那个"行乘列"的定义看起来古怪，本节要说明它是唯一自然的选择。

观察

上一节实验里，你拖动 $T(\mathbf e_1)$ 和 $T(\mathbf e_2)$ ，下方的矩阵 $A$ 跟着变。留意它怎么变： $T(\mathbf e_1)$ 的坐标是第一列， $T(\mathbf e_2)$ 的坐标是第二列。 矩阵不是别的，就是把两个像向量并排写下来。

交互实验线性变换

A=\begin{pmatrix}\textcolor{#c2452d}{1}&\textcolor{#1f7a4d}{0}\\\textcolor{#c2452d}{0}&\textcolor{#1f7a4d}{1}\end{pmatrix}

行列式（有向面积） 1

特征值 1, 1

显示特征向量

猜想

既然线性映射由基的像唯一决定，那么把基的像的坐标按列排成一个数表，这个数表就完整记录了这个映射。"矩阵乘向量"应该就是"求映射的值"，"矩阵乘矩阵"应该就是"映射的复合"。如果这个猜想对，矩阵乘法那个古怪的定义就不再古怪。

定义

定义 4.1线性映射的矩阵

设 $T:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ 线性， $\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n$ 是标准基。 $T$ 的矩阵是 $m\times n$ 数表 $A$ ，其第 $j$ 列是 $T(\mathbf e_j)$ 的坐标： $A=\bigl[\,T(\mathbf e_1)\ \ T(\mathbf e_2)\ \cdots\ T(\mathbf e_n)\,\bigr].$

定义 4.2矩阵乘向量

对 $A=[a_{ij}]$ 和 $x=(x_1,\dots,x_n)$ ，定义 $Ax$ 为 $A$ 各列的线性组合： $Ax=x_1A_{\cdot1}+x_2A_{\cdot2}+\cdots+x_nA_{\cdot n},\qquad\text{即}\ (Ax)_i=\sum_{j=1}^na_{ij}x_j.$

命题 4.1

若 $A$ 是 $T$ 的矩阵，则对所有 $x$ ， $T(x)=Ax$ 。

证明

$x=\sum x_j\mathbf e_j$ ，由线性性 $T(x)=\sum x_jT(\mathbf e_j)=\sum x_jA_{\cdot j}=Ax$ 。

矩阵乘法为什么这样定义

定义 4.3矩阵乘法

设 $A$ 是 $m\times n$ 、 $B$ 是 $n\times p$ 矩阵。 $AB$ 是 $m\times p$ 矩阵，第 $j$ 列为 $A(B_{\cdot j})$ ，即 $(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}.$

定理 4.2矩阵乘法 = 映射复合

若 $S:\mathbb R^p\to\mathbb R^n$ 的矩阵是 $B$ ， $T:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ 的矩阵是 $A$ ，则 $T\circ S$ 的矩阵是 $AB$ 。

证明

$T\circ S$ 是线性的（两条线性性质逐一验证）。其矩阵第 $j$ 列是 $(T\circ S)(\mathbf e_j)=T(S(\mathbf e_j))=T(B_{\cdot j})=A(B_{\cdot j})$ ，正是 $AB$ 的第 $j$ 列。

这就是"行乘列"的全部来历。由此立刻得到：

结合律 $(AB)C=A(BC)$ ：因为映射复合天然结合。不用展开求和证明。
不交换 $AB\ne BA$ ：先旋转再拉伸，和先拉伸再旋转，一般不一样。在实验里可以体会。
单位矩阵 $I$ 对应恒等映射， $AI=IA=A$ 。

行列式

实验中单位正方形被映成一个平行四边形，其面积随矩阵变化。

定义 4.42×2 行列式

$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc.$

定理 4.3行列式是有向面积

以 $T(\mathbf e_1)=(a,c)$ 、 $T(\mathbf e_2)=(b,d)$ 为邻边的平行四边形的有向面积等于 $ad-bc$ 。符号为负当且仅当 $T$ 翻转了定向（ $\mathbf e_1$ 到 $\mathbf e_2$ 从逆时针变成顺时针）。

证明

记 $u=(a,c)$ ， $v=(b,d)$ 。把 $u$ 逆时针旋转 $90^\circ$ 得 $u^\perp=(-c,a)$ 。平行四边形面积 $=|u|\cdot$ （ $v$ 在 $u^\perp$ 方向上的投影长度） $=|u|\cdot\dfrac{v\cdot u^\perp}{|u^\perp|}=v\cdot u^\perp=-bc+ad$ 。投影带符号： $v$ 在 $u$ 的逆时针一侧时为正。

定理 4.4行列式的乘法性

$\det(AB)=\det A\cdot\det B$ 。

证明

几何证明： $B$ 把单位正方形变成面积 $\det B$ 的平行四边形， $A$ 再把任何图形的面积乘以 $\det A$ （因为 $A$ 把小方格都变成同样的平行四边形，任意图形的面积是小方格面积的极限和）。所以 $AB$ 把面积乘以 $\det A\det B$ 。定向的符号同样相乘。

命题 4.5可逆性

$A$ 可逆当且仅当 $\det A\ne0$ ；此时 $A^{-1}=\dfrac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ 。

$\det A=0$ 就是实验中的"压扁"：平面被压到一条直线（或一个点），信息丢失，无法还原。

常见错误

$AB\ne BA$ 。矩阵乘法是映射的复合， $AB$ 表示先做 $B$ ，再做 $A$ （作用在右边的向量上时 $B$ 先碰到它）。写复合矩阵时，顺序写反是最常见的错误。

应用

应用旋转矩阵

逆时针旋转 $\theta$ ： $\mathbf e_1\mapsto(\cos\theta,\sin\theta)$ ， $\mathbf e_2\mapsto(-\sin\theta,\cos\theta)$ ，按列写下来 $R_\theta=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix},\qquad\det R_\theta=1.$ $R_\alpha R_\beta=R_{\alpha+\beta}$ 展开就是三角函数的和角公式：矩阵乘法把和角公式变成了"先转 $\beta$ 再转 $\alpha$ "这句废话。

注

记住一句话就够了：矩阵的列是基向量的去处。 所有关于矩阵的定义和定理，都可以从这句话和线性性重新推出来。下一节特征值问的是：有没有向量在变换后方向不变？

练习

求

\det\begin{pmatrix}2&1\\3&4\end{pmatrix}

。

逆时针旋转

90^\circ

的线性变换，在标准基下的矩阵是？