向量

向量空间的公理，以及基与坐标。

约 7 分钟

从一个问题开始

问题

平面上的箭头、多项式、矩阵、连续函数，加法和数乘都遵守完全相同的规律。如果每一种对象都单独证明一遍"同一个"定理，那是重复劳动。

我们需要一个定义，只依赖运算规律，不依赖对象"是什么"。这样证明一次，处处成立。

观察

平面上的箭头可以相加（首尾相接），可以拉长缩短（数乘）。多项式也可以相加、可以乘常数。 $2\times2$ 矩阵、连续函数、数列……全都可以。

这些对象长得完全不同，但关于加法和数乘的运算规律一模一样：加法交换、结合，数乘对加法分配，有零元，有相反元。

猜想

如果一个定理只用到了这几条运算规律，那它对箭头成立，就对多项式、矩阵、函数也成立。所以值得把这几条规律单独抽出来，给满足它们的对象起一个名字，然后只研究这个名字。

定义

定义 1.1向量空间

设 $V$ 是一个集合，其上定义了加法 $u+v$ 和实数数乘 $cv$ ，且对任意 $u,v,w\in V$ 、 $a,b\in\mathbb R$ 满足：

$u+v=v+u$ ；　2. $(u+v)+w=u+(v+w)$ ；
存在 $0\in V$ 使 $v+0=v$ ；　4. 每个 $v$ 有 $-v$ 使 $v+(-v)=0$ ；
$a(u+v)=au+av$ ；　6. $(a+b)v=av+bv$ ；
$(ab)v=a(bv)$ ；　8. $1v=v$ 。

则称 $V$ 是（实）向量空间，其元素称为向量。

$\mathbb R^2$ 、 $\mathbb R^n$ 、次数不超过 $n$ 的多项式、所有 $m\times n$ 矩阵、 $[0,1]$ 上的连续函数，都是向量空间。练习里有一个反例：次数恰为 2 的多项式不是，因为 $x^2$ 与 $-x^2+x$ 相加后次数掉到 1，跑出了集合。

定义 1.2线性组合、张成、线性无关

$v_1,\dots,v_k$ 的线性组合是 $c_1v_1+\cdots+c_kv_k$ 。所有线性组合的集合记为 $\operatorname{span}(v_1,\dots,v_k)$ 。若 $c_1v_1+\cdots+c_kv_k=0$ 只有零解 $c_1=\cdots=c_k=0$ ，则称 $v_1,\dots,v_k$ 线性无关。

线性无关的含义是：没有任何一个向量是"多余的"，即不能由其余向量组合出来。

定义 1.3基与维数

若 $v_1,\dots,v_n$ 线性无关且 $\operatorname{span}(v_1,\dots,v_n)=V$ ，则称它们是 $V$ 的一组基。基中向量的个数称为 $V$ 的维数 $\dim V$ 。

维数定义得合理，需要证明任意两组基的元素个数相同。

定理与证明

定理 1.1坐标的唯一性

若 $v_1,\dots,v_n$ 是 $V$ 的基，则每个 $v\in V$ 可以唯一地写成 $v=c_1v_1+\cdots+c_nv_n$ 。 $(c_1,\dots,c_n)$ 称为 $v$ 在这组基下的坐标。

证明

存在性来自张成。唯一性：若 $v=\sum c_iv_i=\sum d_iv_i$ ，则 $\sum(c_i-d_i)v_i=0$ ，由线性无关得 $c_i=d_i$ 。

这个定理是"坐标"这个词的全部合法性来源。选定基之后，任何向量空间里的向量都对应唯一一列数字，也就是 $\mathbb R^n$ 中的一个点。

定理 1.2维数良定义

向量空间的任意两组有限基有相同个数的元素。

证明

只需证明：若 $u_1,\dots,u_m$ 线性无关且 $v_1,\dots,v_n$ 张成 $V$ ，则 $m\le n$ （交换两组基的角色就得到相等）。

替换引理： $u_1\in\operatorname{span}(v_1,\dots,v_n)$ ，写 $u_1=\sum a_iv_i$ ，因 $u_1\ne0$ 必有某个 $a_i\ne0$ ，不妨 $a_1\ne0$ 。则 $v_1$ 可以用 $u_1,v_2,\dots,v_n$ 表示，于是 $u_1,v_2,\dots,v_n$ 仍张成 $V$ 。再把 $u_2$ 写成这组向量的组合： $u_2$ 的展开式中必有某个 $v_j$ （ $j\ge2$ ）系数非零，否则 $u_2\in\operatorname{span}(u_1)$ ，与线性无关矛盾。用 $u_2$ 替换这个 $v_j$ 。如此继续。每一步都用一个 $u$ 替换一个 $v$ ， $u$ 用完之前 $v$ 不会先用完（否则某个 $u_k$ 会落在前面 $u$ 的张成中）。故 $m\le n$ 。

常见错误

线性无关不是"两两不共线"。 $(1,0,1),(0,1,1),(1,1,2)$ 两两不共线，却线性相关，因为第三个是前两个之和。定义要求的是整组向量只有唯一的零组合，必须一起检验。

应用

应用为什么 ℝ² 的图能代表所有二维空间

任何二维向量空间，选一组基后就与 $\mathbb R^2$ 一一对应，并且加法和数乘都对应。所以下一节线性映射里画在平面上的所有图，对任何二维空间都成立：无论向量是箭头、一次多项式，还是二阶线性微分方程的解。

注

向量不是"有方向有大小的量"，那只是 $\mathbb R^2,\mathbb R^3$ 里的一种具体形象。向量是向量空间中的元素；向量空间是由八条公理定义的。这种"用运算规律而非对象本身来定义"的方式，是整个代数的基本做法。

练习

向量

(1,0,1),(0,1,1),(1,1,2)

在

\mathbb R^3

中张成的子空间维数是多少？

在通常的加法与数乘下，下列哪个集合不是向量空间？