极限

用 ε–δ 精确说出“无限接近”。

约 7 分钟

从一个问题开始

问题

$a_n=\dfrac{n}{n+1}$ 永远到不了 $1$ ，我们却想说它"趋于 $1$ "。这句话目前没有可检验的含义：接近到什么程度算接近？从第几项开始？

没有一个精确的定义，"趋于"只是一种感觉，既不能证明，也不能反驳。我们需要一句话，把"任意接近"变成可以验证的陈述。

观察

看数列 $a_n = \dfrac{n}{n+1}$ ： $\tfrac12,\ \tfrac23,\ \tfrac34,\ \tfrac45,\ \dots$

它永远到不了 $1$ ，却离 $1$ 越来越近。我们想说" $a_n$ 趋于 $1$ "。但"越来越近"到底是什么意思？ $b_n = 1 - \tfrac{1}{n}$ 也越来越近， $c_n = 1 + \tfrac{(-1)^n}{n}$ 忽左忽右也越来越近。这三种"接近"有什么共同点？

猜想

共同点是：随便给一个多小的误差，从某一项起，所有项与 $1$ 的距离都小于这个误差。

"随便给"对应一个任意的正数 $\varepsilon$ ；"从某一项起"对应一个下标 $N$ 。这就是我们要写成定义的东西。

定义

定义 1.1数列极限

设 $(a_n)$ 是实数列， $L\in\mathbb R$ 。若对任意 $\varepsilon>0$ ，存在 $N\in\mathbb N$ ，使得当 $n>N$ 时 $|a_n-L|<\varepsilon$ ，则称 $(a_n)$ 收敛于 $L$ ，记作 $\lim_{n\to\infty}a_n=L$ 。

注意量词的顺序：先任意给 $\varepsilon$ ，再找 $N$ 。 $N$ 可以依赖 $\varepsilon$ （通常 $\varepsilon$ 越小， $N$ 越大）。把顺序换掉，"存在 $N$ 对任意 $\varepsilon$ "，就会要求从某项起 $a_n$ 恒等于 $L$ ，那是另一件事。

定义 1.2函数极限

设 $f$ 在 $x_0$ 的某个去心邻域上有定义。若对任意 $\varepsilon>0$ ，存在 $\delta>0$ ，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时 $|f(x)-L|<\varepsilon$ ，则称 $\lim_{x\to x_0}f(x)=L$ 。

$\varepsilon$ 控制输出的误差， $\delta$ 控制输入的范围。定义说的是：想让输出多准，就能找到输入需要多准。

推导：用定义验证一个极限

例 1.1

证明 $\lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{n+1}=1$ 。

给定 $\varepsilon>0$ 。我们要让 $\left|\dfrac{n}{n+1}-1\right|=\dfrac{1}{n+1}<\varepsilon$ 。只要 $n+1>\tfrac1\varepsilon$ ，即 $n>\tfrac1\varepsilon-1$ 即可。取 $N=\left\lceil \tfrac1\varepsilon\right\rceil$ ，则当 $n>N$ 时 $\tfrac1{n+1}<\tfrac1N\le\varepsilon$ 。

这类证明的套路是固定的：先把 $|a_n-L|$ 化简成关于 $n$ 的表达式，再反解出 $n$ 需要多大。

定理与证明

定理 1.1极限的唯一性

若 $\lim a_n=L$ 且 $\lim a_n=M$ ，则 $L=M$ 。

证明

反设 $L\neq M$ ，令 $\varepsilon=\tfrac{|L-M|}{2}>0$ 。由定义，存在 $N_1$ 使 $n>N_1$ 时 $|a_n-L|<\varepsilon$ ；存在 $N_2$ 使 $n>N_2$ 时 $|a_n-M|<\varepsilon$ 。取 $n>\max(N_1,N_2)$ ，则 $|L-M|\le|L-a_n|+|a_n-M|<2\varepsilon=|L-M|,$ 矛盾。

定理 1.2极限的四则运算

若 $a_n\to L$ ， $b_n\to M$ ，则 $a_n+b_n\to L+M$ ， $a_nb_n\to LM$ ；若 $M\neq0$ ，则 $a_n/b_n\to L/M$ 。

证明

只证乘法，这是最有代表性的一条。写 $a_nb_n-LM=(a_n-L)b_n+L(b_n-M).$ 收敛数列有界：存在 $B$ 使 $|b_n|\le B$ 对所有 $n$ 成立。给定 $\varepsilon>0$ ，取 $N$ 使 $n>N$ 时 $|a_n-L|<\dfrac{\varepsilon}{2B}$ 且 $|b_n-M|<\dfrac{\varepsilon}{2(|L|+1)}$ 。于是 $|a_nb_n-LM|\le|a_n-L|\,B+|L|\,|b_n-M|<\tfrac\varepsilon2+\tfrac\varepsilon2=\varepsilon.$

定理 1.3夹逼定理

若 $a_n\le c_n\le b_n$ 对充分大的 $n$ 成立，且 $a_n\to L$ ， $b_n\to L$ ，则 $c_n\to L$ 。

证明

给定 $\varepsilon>0$ ，取 $N$ 使 $n>N$ 时 $L-\varepsilon<a_n$ 且 $b_n<L+\varepsilon$ 。于是 $L-\varepsilon<a_n\le c_n\le b_n<L+\varepsilon$ ，即 $|c_n-L|<\varepsilon$ 。

常见错误

量词的顺序不能交换。"对任意 $\varepsilon$ 存在 $N$ "与"存在 $N$ 对任意 $\varepsilon$ "是两句完全不同的话：后者要求从某一项起 $a_n$ 恒等于 $L$ 。另外，极限是否存在与 $a_n$ 是否等于 $L$ 无关， $\frac n{n+1}$ 从不等于 $1$ 。

应用：一个重要极限

应用

$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.$

当 $0<x<\tfrac\pi2$ 时，比较单位圆中的三块面积：三角形 $\tfrac12\sin x$ 、扇形 $\tfrac12x$ 、大三角形 $\tfrac12\tan x$ ，得 $\sin x<x<\tan x$ ，即 $\cos x<\dfrac{\sin x}{x}<1$ 。 $\cos x\to1$ ，由夹逼定理得结论。 $x<0$ 时利用 $\dfrac{\sin x}{x}$ 是偶函数。

这个极限是导数一节里 $\sin'x=\cos x$ 的全部来源。

注

极限不是"最终到达的值"，而是"可以任意逼近的值"。 $a_n$ 永远不等于 $1$ 也没关系。也正因如此， $0.999\dots=1$ ：这是一个极限，不是一个"差一点"的数。

练习

求

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{x}

。

设

f(x)=2x+1

。要保证当

0<|x-1|<\delta

时

|f(x)-3|<\varepsilon

，下列哪个

\delta

一定可行？