导数

第一个等号就是实验里看到的因式分解：$a^{x+h}-a^x=a^x(a^h-1)$。

第二个等号需要知道 $\lim_{h\to0}\frac{a^h-1}{h}=\ln a$。令 $u=a^h-1$，则 $h=\log_a(1+u)=\dfrac{\ln(1+u)}{\ln a}$，且 $h\to0$ 时 $u\to0$。于是 $\frac{a^h-1}{h}=\frac{u\ln a}{\ln(1+u)}=\ln a\cdot\frac{1}{\frac{\ln(1+u)}{u}}\to\ln a\cdot\frac11=\ln a,$ 其中用到了 $\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1$，这等价于 $\lim_{u\to0}(1+u)^{1/u}=e$，即 $e$ 的另一种常见定义 $\lim_{n\to\infty}(1+\tfrac1n)^n$。

只证乘法法则，方法和极限乘法的证明一样：加一项减一项。 $\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\,g(x+h)+f(x)\,\frac{g(x+h)-g(x)}{h}.$ $h\to0$ 时第一项趋于 $f'(x)g(x)$（用到 $g$ 可导蕴含 $g$ 连续，所以 $g(x+h)\to g(x)$），第二项趋于 $f(x)g'(x)$。

$f(x_0+h)-f(x_0)=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\cdot h\to f'(x_0)\cdot0=0$。