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微积分基础

积分

Riemann 和的极限，与微积分基本定理。

约 5 分钟

从一个问题开始

问题

曲线 y=x2y=x^2 下方、0≤x≤10\le x\le1 之间那块区域的面积是多少？我们会算矩形、三角形、圆，但这个图形不属于任何一类。

"面积"对不规则图形还没有定义。我们需要一个定义，让它对熟悉的图形给出熟悉的答案，对新图形给出唯一的数。

观察

曲线 y=x2y=x^2 下方、0≤x≤10\le x\le1 之间的面积是多少？它不是任何我们会算的图形。但我们可以把 [0,1][0,1] 切成 nn 段，每段上用一个矩形代替：矩形面积之和 Sn=∑i=1n(in)21n=1n3⋅n(n+1)(2n+1)6S_n=\sum_{i=1}^n\left(\frac in\right)^2\frac1n=\frac{1}{n^3}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} 随 nn 增大而趋于 13\dfrac13。

猜想

"曲线下的面积"应该定义为矩形和的极限。而且极限值不应依赖于我们怎么切、在每段上取哪个点：只要切得足够细，结果都一样。

交互实验Riemann 和
函数取点
∑i=18f(ξi) Δx\sum_{i=1}^{8} f(\xi_i)\,\Delta xRiemann 和 2.1875精确值 2.66667误差 0.47917

定义

定义 4.1Riemann 和与定积分

设 ff 在 [a,b][a,b] 上有界。取分割 P:a=x0<x1<⋯<xn=bP:a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b，记 Δxi=xi−xi−1\Delta x_i=x_i-x_{i-1}，∥P∥=max⁡Δxi\|P\|=\max\Delta x_i。任取 ξi∈[xi−1,xi]\xi_i\in[x_{i-1},x_i]，和式 ∑i=1nf(ξi) Δxi\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\,\Delta x_i 称为 Riemann 和。若存在数 II，使得对任意 ε>0\varepsilon>0 存在 δ>0\delta>0，只要 ∥P∥<δ\|P\|<\delta，无论 ξi\xi_i 如何选取，都有 ∣∑f(ξi)Δxi−I∣<ε\left|\sum f(\xi_i)\Delta x_i-I\right|<\varepsilon，则称 ff 在 [a,b][a,b] 上可积，记 ∫abf(x) dx=I\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=I。

这和极限定义是同一种句式："想多准就能多准"。区别是这里的"接近"要对所有分割方式和取点方式一致成立。

定理 4.1连续函数可积

若 ff 在 [a,b][a,b] 上连续，则 ff 可积。

证明

闭区间上连续函数一致连续：对任意 ε>0\varepsilon>0 存在 δ\delta，∣x−y∣<δ⇒∣f(x)−f(y)∣<εb−a|x-y|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(y)|<\frac{\varepsilon}{b-a}。当 ∥P∥<δ\|P\|<\delta 时，每个小区间上 ff 的最大值 MiM_i 与最小值 mim_i 之差小于 εb−a\frac\varepsilon{b-a}，所以上和减下和 ∑(Mi−mi)Δxi<ε.\sum(M_i-m_i)\Delta x_i<\varepsilon. 任何 Riemann 和都夹在上和与下和之间，而加细分割时下和增、上和减，两者的公共极限就是 II。

微积分基本定理

到此为止积分和导数毫无关系：一个是面积，一个是斜率。下面的定理是整个微积分的核心。

定理 4.2微积分基本定理（第一部分）

设 ff 在 [a,b][a,b] 连续，F(x)=∫axf(t) dtF(x)=\displaystyle\int_a^xf(t)\,dt。则 FF 在 [a,b][a,b] 可导且 F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)。

证明

F(x+h)−F(x)h=1h∫xx+hf(t) dt.\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\frac1h\int_x^{x+h}f(t)\,dt. ff 连续，故在 [x,x+h][x,x+h] 上有 min⁡f≤1h∫xx+hf≤max⁡f\min f\le\dfrac1h\int_x^{x+h}f\le\max f（积分的单调性）。h→0h\to0 时，min⁡f\min f 与 max⁡f\max f 都趋于 f(x)f(x)（连续性），由夹逼定理得 F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)。

面积函数的变化率就是被积函数的高度：面积增加得快慢，正比于此处曲线有多高。

定理 4.3微积分基本定理（第二部分）

若 F′=fF'=f 在 [a,b][a,b] 上成立且 ff 连续，则 ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)。

证明

令 G(x)=∫axfG(x)=\int_a^xf。由第一部分 G′=f=F′G'=f=F'，故 (G−F)′=0(G-F)'=0，由中值定理的推论，G−FG-F 是常数。G(a)=0G(a)=0 给出常数为 −F(a)-F(a)，所以 G(b)=F(b)−F(a)G(b)=F(b)-F(a)。

于是 ∫01x2 dx=[x33]01=13\int_0^1x^2\,dx=\left[\frac{x^3}3\right]_0^1=\frac13：开头那个极限一秒钟算出。

常见错误

∫abf(x) dx\int_a^bf(x)\,dx 是一个数；不定积分 ∫f(x) dx\int f(x)\,dx 是一族函数（原函数加常数）。两者由微积分基本定理连接，但那是需要证明的定理，不是记号上的约定。另外，定义中要求"无论 ξi\xi_i 如何选取"：只对某一种取点方式计算矩形和，不能证明可积。

应用

应用把方程变成积分方程

对 y′=f(t,y)y'=f(t,y) 两边从 t0t_0 积到 tt： y(t)=y0+∫t0tf(s,y(s)) ds.y(t)=y_0+\int_{t_0}^tf(s,y(s))\,ds. 这个形式是ODE 是什么里存在唯一性证明的出发点，也是 Picard 迭代和数值方法的出发点。

应用分部积分与换元

乘法法则 (uv)′=u′v+uv′(uv)'=u'v+uv' 两边积分得 ∫u′v=uv−∫uv′\int u'v=uv-\int uv'；链式法则积分得换元公式 ∫abf(g(x))g′(x) dx=∫g(a)g(b)f(u) du\int_a^bf(g(x))g'(x)\,dx=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)\,du。每一条积分技巧都是一条求导法则倒过来。

注

∫\int 是拉长的 S，代表 sum。定义里只有求和与极限。微积分基本定理才把它和导数连起来，而这个连接是需要证明的定理，不是记号上的巧合。

练习

01
计算 ∫01x2 dx\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx（保留四位小数）。
02
设 F(x)=∫0xe−t2 dtF(x)=\displaystyle\int_0^x e^{-t^2}\,dt，则 F′(x)F'(x) 等于？