Taylor 展开

用多项式逼近函数，并控制误差。

约 8 分钟

从一个问题开始

问题

计算器只会加、减、乘、除。它怎么算出 $\sin(0.3)$ 或 $e^{0.3}$ ？

我们需要一种方法，用只含加减乘除的表达式（多项式）逼近任意光滑函数，而且必须能说清楚误差有多大，否则近似值毫无意义。

观察

计算器怎么算 $\sin(0.3)$ ？它只会加减乘除。但注意在 $0$ 附近： $\sin x\approx x,\qquad\sin x\approx x-\frac{x^3}6,\qquad\sin x\approx x-\frac{x^3}6+\frac{x^5}{120}.$ $x=0.3$ 时这三个近似分别是 $0.3$ 、 $0.2955$ 、 $0.295520$ ，而真值是 $0.295520\ldots$ 。多项式越长，逼近得越好。

猜想

如果一个多项式 $p$ 要在 $x_0$ 附近"长得像" $f$ ，最自然的要求是它在 $x_0$ 处的值、斜率、弯曲程度……都和 $f$ 相同： $p^{(k)}(x_0)=f^{(k)}(x_0)$ ， $k=0,1,\dots,n$ 。这样的多项式是唯一的，而且误差应该随 $n$ 增大而缩小。

交互实验Taylor 逼近

函数

阶数 n3

展开点 a0.00

P_{3}(x)=\sum_{k=0}^{3}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}

窗口 [a−2, a+2] 内最大误差 0.2426

定义

定义 5.1Taylor 多项式

设 $f$ 在 $x_0$ 处有 $n$ 阶导数。 $P_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$ 称为 $f$ 在 $x_0$ 处的 $n$ 阶 Taylor 多项式。 $R_n(x)=f(x)-P_n(x)$ 称为余项。

系数为什么是 $\dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}$ ？对 $P_n$ 求 $k$ 阶导再代入 $x=x_0$ ： $(x-x_0)^j$ 的 $k$ 阶导在 $x_0$ 处只有 $j=k$ 时非零，等于 $k!$ 。所以 $P_n^{(k)}(x_0)=f^{(k)}(x_0)$ ，正是猜想中的要求。

定理与证明

多项式好算，但如果不知道误差多大，近似就没有意义。下面的定理给出误差的精确形式。

定理 5.1Taylor 定理（Lagrange 余项）

设 $f$ 在含 $x_0,x$ 的区间上有 $n+1$ 阶导数。则存在介于 $x_0$ 与 $x$ 之间的 $\xi$ ，使 $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}.$

证明

固定 $x\ne x_0$ ，令 $M$ 满足 $f(x)-P_n(x)=M(x-x_0)^{n+1}$ 。定义 $g(t)=f(t)-P_n(t)-M(t-x_0)^{n+1}.$ 则 $g(x_0)=g'(x_0)=\cdots=g^{(n)}(x_0)=0$ （因 $P_n$ 与 $f$ 在 $x_0$ 处前 $n$ 阶导数相同，而 $(t-x_0)^{n+1}$ 的前 $n$ 阶导在 $x_0$ 为零），且 $g(x)=0$ 。

由 Rolle 定理， $g$ 在 $x_0,x$ 间有零点 $\xi_1$ ，故 $g'$ 在 $x_0,\xi_1$ 处为零，又有零点 $\xi_2$ ；如此 $n+1$ 次，得 $g^{(n+1)}(\xi_{n+1})=0$ 。而 $P_n^{(n+1)}\equiv0$ ， $\bigl((t-x_0)^{n+1}\bigr)^{(n+1)}=(n+1)!$ ，所以 $g^{(n+1)}(\xi)=f^{(n+1)}(\xi)-M(n+1)!=0\ \Rightarrow\ M=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}.$

例 5.1用余项给误差上界

用 $1-\frac{x^2}2$ 近似 $\cos x$ ， $|x|\le0.5$ 。这个多项式其实是 $P_3$ （ $x^3$ 系数为零），所以 $|R_3(x)|=\left|\frac{\cos^{(4)}(\xi)}{4!}x^4\right|\le\frac{0.5^4}{24}\approx0.0026.$

定义 5.2Taylor 级数

若 $f$ 在 $x_0$ 处无穷次可导， $\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$ 称为 $f$ 的 Taylor 级数。级数收敛到 $f(x)$ 当且仅当 $R_n(x)\to0$ 。

命题 5.2e^x、sin、cos 的级数处处收敛到自身

$e^x=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!},\qquad\sin x=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!},\qquad\cos x=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}.$

证明

三个函数的各阶导数在任何有界区间上一致有界（ $e^x$ 的导数是自身， $\sin,\cos$ 的导数绝对值不超过 1）。固定 $x$ ，记 $C=\max_{|\xi|\le|x|}|f^{(n+1)}(\xi)|$ （对 $e^x$ 是 $e^{|x|}$ ，对 $\sin,\cos$ 是 $1$ ），则 $|R_n(x)|\le C\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}\to0,$ 因为 $\dfrac{|x|^{n}}{n!}\to0$ （从某项起每一项都乘以小于 $\tfrac12$ 的因子）。

注

不是所有函数的 Taylor 级数都收敛到自身。 $f(x)=e^{-1/x^2}$ （ $f(0)=0$ ）在 $0$ 处所有阶导数都是 $0$ ，Taylor 级数恒为 $0$ ，但 $f$ 不恒为 $0$ 。余项 $R_n(x)=f(x)$ 永远不趋于 $0$ 。定义里"当且仅当 $R_n\to0$ "这个条件不是废话。

常见错误

Taylor 级数收敛，不等于收敛到 $f$ 。 $f(x)=e^{-1/x^2}$ （ $f(0)=0$ ）的 Taylor 级数处处收敛（恒为 $0$ ），却只在 $x=0$ 处等于 $f$ 。判断"级数等于函数"的唯一途径是证明余项 $R_n\to0$ 。

应用

应用数值方法的误差从哪里来

数值解一节里，Euler 法每步的误差是 $O(h^2)$ 、RK4 是 $O(h^5)$ ，这些结论全部来自把真解 $y(t+h)$ 按 Taylor 展开、再与数值格式逐项比较。

应用Euler 公式

把 $e^{i\theta}$ 的级数按实部虚部分开，就得到 $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ 。这是二阶线性方程中复特征根给出三角函数解的原因。

练习

\sin x

在

x=0

处的 Taylor 级数中，

x^3

的系数是多少（保留四位小数）？

用

1-\tfrac{x^2}{2}

近似

\cos x

，当

|x|\le 0.5

时，Lagrange 余项给出的误差上界最接近下列哪个？