ODE 是什么

用导数描述变化规律；解的存在与唯一。

约 7 分钟

从一个问题开始

问题

一杯热水在桌上冷却。我们不知道温度函数 $T(t)$ ，只知道它变化的规律：温度下降的速度与它高出室温的程度成正比。

自然界大量的规律都是这样给出的：不是量本身，而是量的变化率与量的关系。我们需要一种数学对象来表达这类规律，以及从规律恢复出函数的方法。

观察

一杯热水放在桌上。它冷却的速度不是恒定的：刚开始很热时降温快，接近室温时降温慢。我们不知道温度随时间的函数 $T(t)$ ，但我们知道它变化的规律：

$T'(t)=-k\,(T(t)-T_{\text{室}}).$

下面的实验里选"指数增长"，把 $k$ 调成负数，改变初值。你看到的就是这类方程的解。

交互实验常微分方程数值解

方程

y' = k\,y

时间序列

k1.00

初值 y(0)1.00

步长 h0.250 · 12 步数

方法 Euler RK4 精确解Euler 终点误差: 5.5336RK4 终点误差: 0.0016

猜想

很多自然规律不直接告诉我们量本身，而是告诉我们量的变化率与量本身的关系。这种关系是一个含有未知函数及其导数的等式。如果我们能从这种等式反推出函数本身，就能预测未来。

定义

定义 1.1常微分方程

一个 $n$ 阶常微分方程（ODE）是形如 $F\bigl(t,\,y,\,y',\,y'',\dots,y^{(n)}\bigr)=0$ 的等式，其中 $y=y(t)$ 是一元未知函数。阶是方程中出现的最高阶导数的阶数。若能解出最高阶导数， $y^{(n)}=f(t,y,\dots,y^{(n-1)})$ ，称为显式方程。

定义 1.2解与初值问题

函数 $\varphi$ 在区间 $I$ 上是方程的解，若把 $y=\varphi(t)$ 代入后等式对所有 $t\in I$ 成立。初值问题是方程加上条件 $y(t_0)=y_0$ （对 $n$ 阶方程要给 $y,y',\dots,y^{(n-1)}$ 在 $t_0$ 的值）。

定义 1.3线性方程

若方程可写成 $a_n(t)y^{(n)}+\cdots+a_1(t)y'+a_0(t)y=g(t)$ ，即 $y$ 及其各阶导数只以一次幂、不互相相乘的方式出现，则称它是线性的； $g\equiv0$ 时称齐次。

$y'''+y\,y'=\sin t$ 是三阶、非线性（因为有 $y\,y'$ ）。阶与线性性是两个独立的属性。

推导：最简单的方程

命题 1.1

$y'=ky$ 的所有解是 $y=Ce^{kt}$ ， $C\in\mathbb R$ 。

证明

$Ce^{kt}$ 是解：直接求导。反过来，设 $y$ 是任意解，考虑 $u(t)=y(t)e^{-kt}$ 。则 $u'=y'e^{-kt}-ky\,e^{-kt}=(y'-ky)e^{-kt}=0,$ 所以 $u$ 是常数 $C$ ， $y=Ce^{kt}$ 。

这里用到了导数一节的核心事实 $(e^{kt})'=ke^{kt}$ ，以及"导数恒为零的函数是常数"（中值定理的推论）。初值 $y(0)=y_0$ 定出 $C=y_0$ 。

回到冷却问题：令 $u=T-T_{\text{室}}$ ，则 $u'=-ku$ ， $u=u_0e^{-kt}$ ，即 $T(t)=T_{\text{室}}+(T_0-T_{\text{室}})e^{-kt}.$

解的存在与唯一

方程给出的只是"规律"。它一定有解吗？解唯一吗？这两个问题决定了"用微分方程预测未来"是否合法。

定理 1.2Picard–Lindelöf 存在唯一性定理

设 $f(t,y)$ 在矩形 $R=\{|t-t_0|\le a,\ |y-y_0|\le b\}$ 上连续，且关于 $y$ 满足 Lipschitz 条件：存在 $L$ 使 $|f(t,y_1)-f(t,y_2)|\le L|y_1-y_2|$ 。则初值问题 $y'=f(t,y),\ y(t_0)=y_0$ 在 $t_0$ 的某个邻域内有唯一解。

证明

只给出唯一性的证明，它揭示了 Lipschitz 条件的作用。设 $\varphi,\psi$ 都是解，令 $w(t)=|\varphi(t)-\psi(t)|$ 。由 $\varphi(t)=y_0+\int_{t_0}^tf(s,\varphi(s))\,ds$ （对方程两边积分，见积分）及 $\psi$ 的同样表达式， $w(t)\le\int_{t_0}^t|f(s,\varphi)-f(s,\psi)|\,ds\le L\int_{t_0}^tw(s)\,ds\quad(t\ge t_0).$ 令 $W(t)=\int_{t_0}^tw$ ，则 $W'\le LW$ ， $W(t_0)=0$ 。于是 $(We^{-Lt})'=(W'-LW)e^{-Lt}\le0$ ， $We^{-Lt}$ 单调不增且从 $0$ 出发、非负，故 $W\equiv0$ ， $w\equiv0$ 。

存在性用 Picard 迭代 $\varphi_{n+1}(t)=y_0+\int_{t_0}^tf(s,\varphi_n(s))\,ds$ 构造，并证明它一致收敛；这是数值解的思想源头之一。

例 1.1没有 Lipschitz 条件时唯一性会失效

$y'=2\sqrt{|y|},\ y(0)=0$ 。 $y\equiv0$ 是解； $y=t^2$ （ $t\ge0$ ）也是解。 $f(y)=2\sqrt{|y|}$ 在 $y=0$ 附近不满足 Lipschitz 条件。

常见错误

$y'=ky$ 的通解是 $Ce^{kt}$ ，不是 $e^{kt}+C$ 。常数出现在哪里由推导决定：这里 $C$ 来自" $ye^{-kt}$ 是常数"。另外，存在唯一性定理只保证局部解， $y'=y^2$ 的解在 $t=1$ 处爆破。

应用

应用解不一定活到永远

$y'=y^2,\ y(0)=1$ 满足定理条件，局部有唯一解 $y=\dfrac1{1-t}$ 。但它在 $t=1$ 处爆破。存在唯一性定理保证的是局部解。这是一阶方程的第一道练习。

注

微分方程的三个层次：建模（写出规律）、求解（找出函数）、分析（不解也能知道什么）。存在唯一性定理属于第三层：它告诉我们，在很宽的条件下，"现在的状态"完全决定"未来"。这正是牛顿力学决定论的数学形式。

练习

解初值问题

y'=2y,\ y(0)=3

，求

y(1)

（保留两位小数）。

方程

y'''+y\,y'=\sin t

的阶是？