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微积分基础

中值定理

整体平均变化率一定在某一瞬间出现；Rolle → Lagrange，以及每个条件为什么不能省。

约 5 分钟

从一个问题开始

问题

一辆车两小时开了 200 公里，平均速度 100 km/h。你能断言：至少有一个瞬间，车速表恰好指着 100 吗？

直觉说能：如果全程都比 100 慢，跑不完 200 公里；全程都比 100 快，又会超过。速度是连续变化的，总得穿过 100。但"直觉说能"不是证明。我们需要一个定理，把"整体平均"和"某一瞬间"精确地连起来。

观察

把下面的观察点 x0x_0 固定，让 hh 变大：割线连接两个端点。中值定理说的是，总有某个位置的切线与这条割线平行。换几个函数试试，找找那个位置。

交互实验割线变成切线
函数
f(x0+h)−f(x0)h\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}割线斜率 -0.0275切线斜率 f′(x₀) 0.5403差 0.5678
猜想

如果 ff 在 [a,b][a,b] 上足够"好"（连续、可导），那么存在 ξ∈(a,b)\xi\in(a,b) 使 f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a.f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}. 证明的思路：把问题转化为端点相等的特殊情形，那个情形里只需要找一个极值点。

定理与证明

定理 3.1Rolle 定理

设 ff 在 [a,b][a,b] 上连续，在 (a,b)(a,b) 内可导，且 f(a)=f(b)f(a)=f(b)。则存在 ξ∈(a,b)\xi\in(a,b) 使 f′(ξ)=0f'(\xi)=0。

证明

闭区间上的连续函数取到最大值 MM 与最小值 mm（最值定理）。若 M=mM=m，ff 是常数，任何 ξ\xi 都行。否则 M,mM,m 中至少有一个不等于 f(a)=f(b)f(a)=f(b)，因此在某个内点 ξ∈(a,b)\xi\in(a,b) 取到。不妨设 f(ξ)=Mf(\xi)=M。对任意小的 hh，f(ξ+h)≤f(ξ)f(\xi+h)\le f(\xi)，所以 f(ξ+h)−f(ξ)h≤0 (h>0),f(ξ+h)−f(ξ)h≥0 (h<0).\frac{f(\xi+h)-f(\xi)}{h}\le0\ (h>0),\qquad\frac{f(\xi+h)-f(\xi)}{h}\ge0\ (h<0). 两边取极限（ff 在 ξ\xi 可导，左右极限相等），得 f′(ξ)≤0f'(\xi)\le0 且 f′(ξ)≥0f'(\xi)\ge0，故 f′(ξ)=0f'(\xi)=0。

这一步的核心是：内部极值点处导数为零。 这就是 Fermat 引理。

定理 3.2Lagrange 中值定理

设 ff 在 [a,b][a,b] 上连续，在 (a,b)(a,b) 内可导。则存在 ξ∈(a,b)\xi\in(a,b) 使 f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a.f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.

证明

经过两个端点的割线是 ℓ(x)=f(a)+f(b)−f(a)b−a(x−a),\ell(x)=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a), 它的导数恒等于平均斜率 m=f(b)−f(a)b−am=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}。令 g(x)=f(x)−ℓ(x)g(x)=f(x)-\ell(x)。gg 仍在 [a,b][a,b] 连续、(a,b)(a,b) 可导，而且因为割线穿过两个端点，g(a)=g(b)=0g(a)=g(b)=0。由 Rolle 定理存在 ξ\xi 使 g′(ξ)=0g'(\xi)=0，即 f′(ξ)−m=0f'(\xi)-m=0。

推导链条：构造割线 → 减去割线 → 端点相等 → Rolle → 结论。定理的全部技巧就是"减去割线"这一步。

哪个条件不能省

例 3.1不可导：f(x) = |x|

在 [−1,1][-1,1] 上，割线斜率为 00。但 f′(x)f'(x) 只取 −1-1 与 11，00 处不可导。不存在满足结论的 ξ\xi。开区间内可导不能省。

例 3.2端点不连续

令 f(x)=xf(x)=x（0≤x<10\le x<1），f(1)=2f(1)=2。割线斜率为 22，内部导数恒为 11。端点处的连续性不能省，即使只差一个点。

常见错误

ξ\xi 是存在的，但定理没有说它在哪里、有几个，也不给出求法。用中值定理时，绝不要把 ξ\xi 当成一个可以解出来的已知量；它的价值在于估计：∣f(b)−f(a)∣≤max⁡∣f′∣⋅∣b−a∣|f(b)-f(a)|\le\max|f'|\cdot|b-a|。

应用

应用导数为零的函数是常数

若 f′≡0f'\equiv0 于区间 II，则对任意 a<ba<b 在 II 中，f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)=0f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)=0。这条推论在积分的基本定理第二部分与 ODE 是什么中 y′=kyy'=ky 的唯一性证明里都用到了。没有中值定理，这两个证明都是空的。

应用单调性判别

f′>0f'>0 于 (a,b)(a,b) 蕴含 ff 严格递增：任取 x1<x2x_1<x_2，f(x2)−f(x1)=f′(ξ)(x2−x1)>0f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1)>0。

应用Taylor 定理

Taylor 展开的 Lagrange 余项证明，就是对一个精心构造的函数连用 n+1n+1 次 Rolle 定理。

注

中值定理是"局部信息控制整体行为"的桥梁：知道每一点的导数，就能控制任意两点的函数值之差。微分学里几乎所有"由 f′f' 推出 ff 的性质"的命题，背后都是它。

练习

01
f(x)=x3f(x)=x^3 在 [0,2][0,2] 上，求满足 f′(ξ)=f(2)−f(0)2−0f'(\xi)=\dfrac{f(2)-f(0)}{2-0} 的 ξ∈(0,2)\xi\in(0,2)（保留三位小数）。
02
f(x)=∣x∣f(x)=|x| 在 [−1,1][-1,1] 上，割线斜率为 00，但没有任何点的导数为 00。中值定理的哪个条件不满足？