一阶方程

分离变量、积分因子，与解的几何。

约 6 分钟

从一个问题开始

问题

$y'=f(t,y)$ 在平面上每一点给出一个斜率。怎样从"处处的斜率"找回整条曲线？

上一节证明了解存在且唯一，但没有说怎么算出来。我们需要真正能写出解的方法，哪怕只对某些类型的方程有效。

观察

下面选"Logistic 增长"： $y'=ry\left(1-\dfrac yK\right)$ 。改变初值 $y(0)$ ：从下方出发的解向上爬，从上方出发的解向下落，都趋于 $K$ ；从 $y(0)=0$ 出发则永远是 $0$ 。所有解曲线互不相交。

交互实验常微分方程数值解

方程

y' = r\,y\left(1-\tfrac{y}{K}\right)

时间序列

r1.50

K3.00

初值 y(0)0.30

步长 h0.250 · 32 步数

方法 Euler RK4 精确解Euler 终点误差: 1.40e-4RK4 终点误差: 2.98e-7

猜想

一阶方程 $y'=f(t,y)$ 在每一点 $(t,y)$ 规定了一个斜率。解曲线就是处处与规定斜率相切的曲线。由唯一性（见ODE 是什么），过每一点恰好一条解曲线，所以它们不会相交。而如果 $f$ 能分成 $t$ 的函数乘 $y$ 的函数，也许可以把 $y$ 和 $t$ 分到等号两边各自积分。

分离变量

命题 2.1分离变量法

若 $y'=g(t)h(y)$ 且 $h(y)\ne0$ ，则解满足 $\int\frac{dy}{h(y)}=\int g(t)\,dt.$

证明

设 $H$ 是 $\dfrac1h$ 的一个原函数， $G$ 是 $g$ 的原函数。由链式法则 $\frac{d}{dt}H(y(t))=H'(y)\,y'=\frac{y'}{h(y)}=g(t)=G'(t),$ 所以 $H(y(t))=G(t)+C$ 。

写成 $\dfrac{dy}{h(y)}=g(t)\,dt$ 只是记忆法；真正发生的是链式法则倒过来。

例 2.1y′ = y²

$\int y^{-2}\,dy=\int dt\Rightarrow-\dfrac1y=t+C$ 。由 $y(0)=1$ 得 $C=-1$ ， $y=\dfrac1{1-t}$ 。解在 $t\to1^-$ 时爆破：一阶方程的解可以在有限时间内跑到无穷。

例 2.2Logistic 方程

$\displaystyle\int\frac{dy}{y(1-y/K)}=\int r\,dt$ 。左边用部分分式 $\dfrac1{y(1-y/K)}=\dfrac1y+\dfrac{1/K}{1-y/K}$ ，积分得 $\ln|y|-\ln|1-y/K|=rt+C$ ，解出 $y(t)=\frac{K}{1+\left(\frac{K}{y_0}-1\right)e^{-rt}}.$ $t\to\infty$ 时 $y\to K$ ，与实验一致。 $y_0=0$ 时分离变量不合法（ $h(0)=0$ ），但 $y\equiv0$ 显然是解，这是平衡解； $y\equiv K$ 也是。

线性方程与积分因子

定义 2.1一阶线性方程

$y'+p(t)y=q(t).$

分离变量不管用，因为右边不能拆成 $g(t)h(y)$ 。但注意左边"差一点"就是某个乘积的导数。

定理 2.2积分因子

令 $\mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}$ 。则 $y'+p y=q$ 等价于 $(\mu y)'=\mu q$ ，从而 $y=\frac1{\mu(t)}\left(\int\mu(t)q(t)\,dt+C\right).$

证明

$\mu'=p\mu$ （这是 $\mu$ 的选法的全部理由：见导数一节 $(e^{u})'=u'e^u$ ）。于是 $(\mu y)'=\mu y'+\mu'y=\mu y'+p\mu y=\mu(y'+py)=\mu q.$ 两边积分、除以 $\mu$ 即得。

例 2.3

$y'+2y=e^t$ ： $\mu=e^{2t}$ ， $(e^{2t}y)'=e^{3t}$ ， $e^{2t}y=\tfrac13e^{3t}+C$ ， $y=\tfrac13e^t+Ce^{-2t}$ 。

定理 2.3线性方程解的结构

$y'+py=q$ 的通解 $=$ 齐次方程 $y'+py=0$ 的通解 $Ce^{-\int p}$ $+$ 原方程的任意一个特解。

证明

若 $y_1,y_2$ 都是 $y'+py=q$ 的解，则 $(y_1-y_2)'+p(y_1-y_2)=q-q=0$ ，即 $y_1-y_2$ 是齐次解。反之齐次解加特解仍是解。

这是线性带来的结构：解集是一个"仿射空间"（齐次解空间的平移）。齐次解空间是一维向量空间。这个结构在二阶线性方程中完全重现，那时齐次解空间变成二维。

常见错误

分离变量时除以 $h(y)$ ，会丢掉 $h(y)=0$ 的平衡解。Logistic 方程的 $y\equiv0$ 与 $y\equiv K$ 就是这样丢掉的，必须单独补回。每次除以含 $y$ 的式子，都要问一句：它等于零时怎么办？

应用

应用解曲线的几何：方向场

不解方程，在每一点画一小段斜率为 $f(t,y)$ 的线段，就得到方向场。解曲线是顺着方向场走出的曲线。实验里相图中的短线段就是方向场（对二维系统）。平衡解是 $f(t,y)=0$ 的水平线；Logistic 方程的 $y=K$ 吸引附近的解， $y=0$ 排斥。

注

一阶方程只有少数几类能写出闭式解：可分离、线性、恰当方程和几种换元能化归的类型。大多数方程解不出来，但这不妨碍我们分析它（方向场、平衡点、稳定性）或数值求解。

练习

解

y'=y^2,\ y(0)=1

，求

y(0.5)

。

解

y'+2y=e^t

时应乘的积分因子是？